INKWIRE(7) reasoning puzzles INKWIRE(7)
twelve-coin
十二枚硬币与三次称重
有一枚假币，但不知道它偏重还是偏轻。
名称
题目
你有十二枚外观完全相同的硬币。其中恰好一枚是假币。假币的重量与真币不同，但没人告诉你它是偏重还是偏轻——而且你手上没有已知的真币可以对照。
你有一台天平，它只报告三种结果：左盘下沉、右盘下沉、或者平衡。请用三次称重，找出假币是哪一枚，并说出它是重还是轻。
三次称重一共产生 27 种结果串，而答案有 24 种可能（12 枚 × 2 个方向）。信息预算很紧但够用——这说明在动手之前你就该知道，没有任何一次称重可以被浪费。
信号
条件与每个条件所强制的结论
| # | 条件 | 它强制了什么 |
|---|---|---|
| 1 | 三次称重，每次三种结果 | 最多只有 27 种不同的结果串，而答案有 24 种；方案能成立，但几乎没有余量，任何重复浪费的模式都塞不进去 |
| 2 | 十二枚硬币，一枚异常，方向未知 | 每个候选携带两种可能状态，共 24 种答案——这正是「先来个 6 对 6」注定失败的原因 |
| 3 | 6 对 6 必然倾斜 | 它在一步之内把 24 种状态压到 12 种，却花掉了三次机会中的一次；单次称重最多能分辨 9 种状态，所以一步 12 种是致命的 |
| 4 | 4 对 4 可能平衡 | 平衡意味着剩下 4 枚未测（8 种状态），同时确认了 8 枚真币，它们将充当参照砝码 |
| 5 | 4 对 4 倾斜后留下 8 个嫌疑和 4 枚真币 | 8 个嫌疑各自只剩一个可能方向（重盘上的偏重、轻盘上的偏轻），共 8 种状态——只要每次按 3/3/2 拆分，两次称重就够 |
例子
解题法
给每枚硬币编一个由「左 / 右 / 不上秤」组成的三位码，挑选十二个互不为镜像的码字；最后的结果串会直接把答案拼出来。
[+] 完整解法 3
第一次称重：1 2 3 4 对 5 6 7 8。情况 A：平衡。假币在 9 10 11 12 之中，1–8 全为真币。第二次：9 10 11 对 1 2 3（都是真币）。若平衡，则 12 是假币，第三次用 12 对 1 判断方向。若左沉，则 9 10 11 中有一枚偏重，称 9 对 10：重的即答案，平衡则 11 偏重。若右沉，逻辑相同，只是把「重」换成「轻」。
情况 B：第一次左沉（1–4 更重）。则假币是 1 2 3 4 中的偏重者，或 5 6 7 8 中的偏轻者；9 10 11 12 为真币。第二次：1 2 5 对 3 6 9。若平衡，嫌疑是 4（偏重）、7（偏轻）或 8（偏轻）——称 7 对 8，轻者为假币，平衡则是 4 偏重。若左沉，嫌疑是 1 2（偏重）或 6（偏轻）——称 1 对 2，重者为假币，平衡则是 6 偏轻。若右沉，嫌疑是 3（偏重）或 5（偏轻）；用 3 对一枚真币即可定案。
情况 C 与情况 B 完全对称，只是重与轻互换。每一个分支都在恰好三次称重后终止，而且整个方案中没有任何一对硬币被重复称过。
近亲条目
- [P] bridge-and-torch 四个人，一支火把，十七分钟。
- [P] census 所有人都早已知道，但不说出口就什么事都不会发生。
- 目录 — /zh/t/puzzle/
[+] 补充与常见疑问 3
- 为什么上限恰好是 27 种结果？
- 每次称重有三种结果，三次就是 3×3×3 = 27 个可区分的串。答案有 24 种，编码有 27 个位置，所以方案存在但几乎没有余量：最多只能有三个结果串闲置不用。
- 为什么 4 对 4 行得通，6 对 6 不行？
- 因为 4 对 4 有可能平衡。平衡是最有信息量的结果——它一次确认八枚真币，并交给你参照砝码，而在方向未知的情况下你正需要参照物。
- 如果还要求判断出偏重还是偏轻呢？
- 上面的方案本身就给出了方向。方向由你最终落在哪个分支决定，这也是为什么衡量难度要按 24 种状态而不是 12 枚硬币来算。
适用范围 — 本题用于推理练习；上面的分支分析已覆盖第一次称重的全部三种结果。