这句话究竟改变了什么？

它造出了一个基础情形。没有它，「如果我是空白，那么他就会看见零个点、今晚就走」这条链条没有起点，因为没人确定这条链能落到底。这句话提供了归纳所依赖的那个平凡情形。

为什么需要 99 夜，而不是一夜？

因为归纳的每一层都必须被观察到，而不能被假定。每一个无人离岛的夜晚都是一份证据，把所有人对「点的数量下限」的估计往上推一格。

必须。如果这句话为假，第一夜预期中的离岛就不会发生，归纳会在第二天崩塌而不会继续推进。虚假的公告不会产生任何协同行为。

INKWIRE(7) reasoning puzzles INKWIRE(7)

说谎者普查

所有人都早已知道，但不说出口就什么事都不会发生。

题目

一座岛上一百位居民围成一个圈。每位居民能看见其他所有人的额头，唯独看不见自己的。每人的额头上要么有一个点，要么是空白，而你看别人的记号看得一清二楚。

所有人都知道这条规则：如果你能推断出自己额头上有记号，就必须在当天夜里离岛，而且你的推断会是对的。公告之后，任何人不得交流。

九十九位居民额头有点，一位是空白。一位访客到来，对全体说了一句真话：「你们当中至少有一个人的额头有点。」然后访客离开。接下来会发生什么？在哪一夜发生？

条件与每个条件所强制的结论

#	条件	它强制了什么
1	每个人都能看见其他所有人的额头	每个有点的人恰好看见 98 个点；空白的那位看见 99 个点
2	每人都懂规则且推理无误	行为可以用「某人看见几个点」上的归纳来预测
3	「至少有一个点」所有人本就都知道	这句话没有增加任何一阶事实；它的全部贡献在于「它现在成了公共知识」——人人都知道人人都知道，可以无限往上叠
4	任何人无法发信号或商议	唯一的信息更新渠道是每晚的离岛情况，而这件事本身也是公共知识
5	恰好一位居民是空白	99 位有点的人各自看见 98 个点，归纳深度到 98，于是他们全部在第 98 夜离岛

解题法

对「每个人看见什么」做归纳。访客那句话增加的不是关于点的信息，而是给「人人可以依赖别人也知道」这件事加了一个深度下限。

[+] 完整解法 4

先从只有一个点的情况开始。看见零个点的人听到「至少有一个点」，立刻知道那就是自己，于是在第一夜离岛。

两个点的情况：每个有点的人看见一个点，会推理「如果我是空白，那他就是唯一一个有点的人，他今晚就会走」。第一夜无人离岛，于是两人都断定自己有点，在第二夜离岛。

规律可以推广：有 n 个点时，全部 n 位有点者在第 n 夜一起离岛。因为每人都看见 n−1 个点，会等待 n−1 个夜晚，去看那个「若自己是空白就该发生」的离岛。本题中 n = 99，所以第 99 夜，99 位有点者同时离岛，空白的那位留下。

空白的那位看见 99 个点。只有当 n = 100 时，这个观察才与「自己也有点」相容；而第 98 夜无人离岛这一点，对他而言排除了 n = 100。他的推理完全正确，结论是自己空白——这正是他留下来的原因。

[+] 补充与常见疑问 3

这句话究竟改变了什么？: 它造出了一个基础情形。没有它，「如果我是空白，那么他就会看见零个点、今晚就走」这条链条没有起点，因为没人确定这条链能落到底。这句话提供了归纳所依赖的那个平凡情形。
为什么需要 99 夜，而不是一夜？: 因为归纳的每一层都必须被观察到，而不能被假定。每一个无人离岛的夜晚都是一份证据，把所有人对「点的数量下限」的估计往上推一格。
访客说的必须是真的吗？: 必须。如果这句话为假，第一夜预期中的离岛就不会发生，归纳会在第二天崩塌而不会继续推进。虚假的公告不会产生任何协同行为。

适用范围 — 本题用于推理练习；上面的归纳以一般 n 的形式给出。