为什么主持人的「知道」会改变什么？

因为它让他的选择不再是随机的。随机揭晓不会提供关于奖品的信息；而受知识约束的揭晓是一条消息，消息会更新概率。

如果主持人只在你显得犹豫时才开门呢？

那么「他开了门」这件事本身就是额外证据，2/3 这个数字在不说明完整规则的情况下不再适用。这正是本题是关于「对规则取条件」而不是关于门的教材案例。

成立，只是标签做了置换。你选的那扇门保持 1/3，你没选的两扇合起来保持 2/3，而主持人的揭晓把全部 2/3 集中到了剩下那扇未开的门上。

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三扇门与知情的主持人

奖品没有移动，但信息移动了。

题目

三扇门。其中一扇后面是奖品，另外两扇后面是空的。你选了 1 号门。知道奖品在哪的主持人打开 3 号门，让你看到它是空的，然后给你一个选择：保留 1 号门，或者改选 2 号门。

他本来一定会打开一扇空门，而且他绝不会打开你选的那一扇。你应该改选吗？是改不改都一样，还是取决于「两扇空门都能开时他会怎么选」？

通常的答案——改不改都一样，剩下两扇门就是五五开——是错的。精确的答案要把「主持人的规则已知」和「规则未知」这两种情形分开。

条件与每个条件所强制的结论

#	条件	它强制了什么
1	奖品在你选择之前均匀随机放置	1 号门中有奖的概率是 1/3，另外两扇门合起来是 2/3
2	主持人知道奖品在哪	他的动作不是随机的，而是「奖品位置 + 你的选择」的确定函数，因此携带关于奖品的信息
3	主持人总是打开一扇空门	若奖品在 1 号门，他可开 2 也可开 3；若奖品在 2 号门，他必须开 3；若在 3 号门，他必须开 2
4	主持人绝不打开你选的那扇门	你最初的选择原封不动地存活下来，因此它的概率不可能被向上更新；那 2/3 始终留在你没选的两扇门上
5	他打开了 3 号门，而且是空的	改选 2 号门取胜的世界，恰好是「奖品在 2 号门」的那些世界，占全部的 1/3，而坚守取胜的是 1/3 × 1/2 = 1/6

解题法

把主持人的决策规则写下来，枚举与你所观察到的结果相容的全部世界，然后做除法。那扇被打开的门不是关于它自己的证据，而是关于「选择它的那条规则」的证据。

[+] 完整解法 4

数世界。三种放置方式等概率。若奖品在 1 号门，主持人可以开 2 也可以开 3；假设他抛硬币决定，于是这一情形分裂成两个各为 1/6 的半世界。若奖品在 2 号门，他必须开 3——一个 1/3 的世界。若在 3 号门，他必须开 2——一个 1/3 的世界。

你观察到的是「开了 3 号门」。这一观察排除了「奖品在 3 号门」的世界。存活下来的是：奖品在 1 号门且开了 3 号门（1/6），以及奖品在 2 号门且开了 3 号门（1/3）。该观察的总概率是 1/6 + 1/3 = 1/2。

取条件可得：P(奖品在 1 号门 | 开了 3 号门) = (1/6) / (1/2) = 1/3；P(奖品在 2 号门 | 开了 3 号门) = (1/3) / (1/2) = 2/3。改选取胜的次数是坚守的两倍。

规则很重要。如果主持人不是随机挑，而是「总是打开编号较小的那扇空门」，那么当奖品在 1 号门时他永远开 2 号门；此时你若看到 3 号门被打开，就意味着奖品必定在 2 号门。同样的门、同样的主持人，规则不同，答案就不同。

[+] 补充与常见疑问 3

为什么主持人的「知道」会改变什么？: 因为它让他的选择不再是随机的。随机揭晓不会提供关于奖品的信息；而受知识约束的揭晓是一条消息，消息会更新概率。
如果主持人只在你显得犹豫时才开门呢？: 那么「他开了门」这件事本身就是额外证据，2/3 这个数字在不说明完整规则的情况下不再适用。这正是本题是关于「对规则取条件」而不是关于门的教材案例。
如果我一开始选的是 2 号门，答案还成立吗？: 成立，只是标签做了置换。你选的那扇门保持 1/3，你没选的两扇合起来保持 2/3，而主持人的揭晓把全部 2/3 集中到了剩下那扇未开的门上。

适用范围 — 本题用于推理练习；上面的条件概率在所述主持人规则下精确成立。